학업 기술의 획득 : 수학 - 산수

수학적 발달은 산수발달을 포함하고 있다.

 

산수

사람들은 종종 산수 학습을 기계적 암기 과정으로 생각하지만, 이것은 실제로 훨씬 더 복잡하고 흥미로운 과정이다. 아이들이 산수를 얼마나 잘 배우는지는 그들이 사용하는 학습 전략, 숫자를 정확하게 이해하고 표현하는 능력, 기초적인 수학 개념과 원리를 얼마나 깊이 이해하고 있는지에 따라 달라진다.

 

 

전략

4세나 5세 무렵부터 대부분의 아이들이 산수를 배우기 시작할 때, 아이들은 다양한 문제 해결 전략을 활용한다. 초기에 가장 흔하게 쓰는 전략은 "1부터 세기"(예 : 2+2를 푸는 데 양손의 손가락을 하나씩 세며 "1, 2, 3, 4"라고 세는 방식)와 "인출"(기억에서 답을 회상하는 방식)이다. 처음에 아이들은 이러한 전략을 1+2와 2+2 같은 몇 개의 간단한 문제 해결에만 적용하지만, 점차 더 넓은 범위의 한 자리 숫자로 이루어진 더 다양한 문제에 이러한 전략 사용을 확장해 나간다.

 아이가 유치원이나 초등학교 1학년에서 산수를 일상적으로 사용하기 시작하면, 아이들은 여러 개의 새로운 전략들을 자연스럽게 익히고 활용하게 된다. 그중 하나는 더하는 숫자인 가수에서 "더 큰 숫자부터 세기" 전략이다. 예를 들어 3+-9를 계산할 때, "9, 10, 11, 12"와 같이 큰 숫자부터 차례로 세면서 답을 찾는 방식이다. 또 다른 전략은 "분해"이다. 이것은 하나의  문제를 보다 쉬운 두 개의 문제로 나누는 것이다. 예를 들어 3+9를 풀 때, "3+10=13, 13-1=12"라고 생각해서 푸는 방식이다. 아이들은 이러한 새로운 전략들을 배우면서도 초기 단계에서 익혔던 전략들을 계속 사용한다. 실제로 대부분의 1학년 아이들은 한 자리 숫자를 더하는 데 세 가지 이상의 전략을 사용한다. 아이들은 덧셈뿐만 아니라 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 같은 모든 산수 연산에서도 비슷하게 사용한다. 예를 들어 3x4 같은 곱하기 문제를 해결할 때, 어떤 아이들은 4를 세 번 쓰고 더하는 방식을 사용하고, 때로는 4개의 가는 선 묶음을 3개 그려서 세어보는 방식을 선택하며, 때로는 기억에서 바로 12라는 답을 인출해내기도 한다. 이러한 다양한 산수 전략의 사용은 성장하면서도 지속된다. 실제로 연구에 따르면 대학생들도 한 자리 숫자로 된 문제를 풀 때 15~30%의 비율로 인출이 아닌 다른 전략을 사용한다고 한다.

 

 아이가 단어를 인식할 때 다양한 전략들 중에서 가장 적정한 방법을 선택하는 것처럼, 산수를 풀 때도 마찬가지로 전략을 신중하게 선택한다. 심지어 4세 아이도 현명한 방식으로 선택한다. 보통 2+2 같은 쉬운 문제는 기억에서 답을 떠올리는 인출을 사용해 빠르고 정확하게 풀어내지만, 5+2처럼 더 어려운 문제는 1부터 세면서 비교적 천천히, 하지만 정확하게 세어서 계산한다. 아이들이 한 자릿수 산수 문제에 답하는 경험을 하면서, 전략 선택은 점점 인출을 많이 활용하게 된다. 이 학습 과정은 읽기에서 시각적 단어 인식을 통한 인출 방식으로 전환하는 과정과 유사하다. 결국 아이가 사용한 전략과 상관없이 아이가 문제에 정확한 답을 많이 맞힐수록, 더 자주 더 쉽게 그 답을 인출할 수 있게 될 것이다. 그래서 점차 느리고 번거로운 세기 전략을 사용할 필요가 줄어들게 된다.

 

 

 

수 크기의 이해

 수 크기 표상은 '양이 더 적은-더 많은'이라는 개념을 기반으로 숫자들이 순서대로 배열된 정신적 모델을 의미한다. 숫자 '7'이 거리(7인치), 무게(7파운드), 시간(7시간), 집합 크기(7명) 중 무엇을 나타내는 상관없이, 같은 단위의 '7'이 나타내는 크기는 '6'이 나타내는 크기보다 더 크고 '8'이 나타내는 크기보다 작다.

숫자가 크기를 나타낸다는 개념은 분명한 것처럼 보이지만, 실제로 숫자와 크기의 정확한 관계를 이해하는 것은 아이들에게 상단 한 도전 과제가 된다. 예를들어, 1에서 10까지 완벽하게 셀 수 있는 많은 학령전 아이들은 숫자 4와 8 중에서 어떤 숫자가 사물의 더 큰 수를 나타내는지를 제대로 판단하지 못하는 경우가 많다. 또한, 많은 초등학교 학생들은 150의 위치를 묻는 질문에 0과 1,000 사이에서 500에 가깝다고 잘못 추정한다. 심지어 청소년과 성인들조차 3/5이 5/11보다 더 큰지 또는 더 작은지 알지 못한다. 이처럼 수 크기에 대한 정확한 이해와 표상의 발달은 숫자를 단순히 읽고 쓰는 능력뿐만 아니라, 수학적 직관을 키우는 데 중요한 요소가 된다.

 

 학습 과정은 오랜 기간이 걸리긴 하지만 아이들이 수의 크기를 정확하게 이해하는 과정은, 나이가 들고 경험이 쌓이면서 점차 증가한다. 숫자의 크기를 비교하거나 수직선에 올바르게 배치하는 능력은 이러한 발달 과정을 잘 보여준다. 예를 들어, 수 1부터 10까지의 수 크기를 비교하는 능력의 정확성은 3~6세 사이에, 수 1부터 100까지의 수 크기를 비교하는 능력의 정확성은 6~8세 사이에, 수 1부터 1,000까지의 숫자 크기를 비교하는 능력의 정확성은 8~12세 사이에 크게 증가한다.

하지만 같은 연령의 아이라도 그들의 수 크기 지식은 매우 다르다. 이런 차이는 아이의 전반적인 수학 지식과 밀접한 관련 있다. 예를 들어, 초등학교 시기에, 수직선 위에서 숫자의 위치를 더 정확하게 추정하는 아이들은 수학 성취 수준이 더 높다. 또한 중학교 시기에 정확하게 분수 크기를 판단할 수 있는 아이도 수학 성취 수준이 더 뛰어나다.

 

 더 정확한 수 크기 표상이 아이의 산수 학습을 돕는 것이 이러한 관계가 생기는 원인의 일부가 된다. 아이가 수 크기를 더 정확하게 이해할수록 산수 실력이 더 좋다. 이는 수직선에서 수들의 위치를 추정하는 능력과 산수 성취도 사이의 관계를 통해 확인할 수 있다. 더욱이 아동의 상징적 수 크기 표상의 정확성을 높이는 교육이 이후의 산수 학습을 향상시킨다. 정확한 수 크기 표상은 아이가 생각을 해서 그럴듯한 답을 하고 받아들이기 어려운 답을 배제함으로써 산수 학습을 향상시킬 수 있다. 정확한 수 크기 표상은 일반적으로 읽기, 쓰기, 수학 전반에 기여하는 공통적인 인지 과정들 중 일부와 밀접하게 관련이 있다. 특히 작업 기억 같은 기초 과정 및 전략 사용과 관련이 있다.

 

 

 

산수의 개념 이해

왜 어떤 산수 절차는 적절한데 다른 절차는 부적절한가를 이해하는 것은 많은 아이들에게 큰 도전이 된다. 심지어 정확한 절차를 기억하고 있는 아이들에게도 그 원리를 이해하는 데 어려움을 겪는 경우가 많다. 그러한 산수 개념 이해는 학령전기부터 서서히 발달하기 시작한다. 예를 들어 많은 4세 아이들은 덧셈의 교환법칙을 이해한다. 덧셈 교환법칙은 더하기 a+b는 더하기 b+a와 같다는 원리다. 그러나 수년 후에야 비로소 등호의 양쪽에 있는 값은 같아야 한다는 원리인 수학적 균형 같은 더 진전된 산수 개념을 숙달한다. 어린아이들이 등호를 만날 때의 거의 모든 문제는 수들이 등호의 왼쪽에만 있다는 점이다(예: 3+4= __, 3+4+5= __ ). 이런 문제들을 해결하기 위해, 아이들은 등호를 덧셈을 시작하는 신호로 해석할 수 있다. 그러나 결국 아동들은 3+4+5=__+5 같은 등호의 양쪽에 수가 있는 산수 문제를 만난다.

 

4학년의 늦은 때에 대부분의 미국 아이들은 그런 문제에 틀리게 답하는 경우가 많다. 가장 공통적인 부정확한 접근은 등호 왼쪽에 있는 수를 모두 더하고, 위의 문제 3+4+5=__+5에서는 합이 12, 이 합이 문제의 답이라고 추정하는 것이다. 그런 오류들은 아이가 전형적인 덧셈 문제인 등호 오른쪽에 수가 없었던 문제를 풀었던 엄청난 연습량이 주는 방해를 보여준다. 마찬가지로 등호의 양쪽이 동등해야 한다는 이해가 부족함도 반영된다. 많은 경우에서, 아이들의 손짓은 그들의 답이나 설명보다 그들의 수학적 등식 이해를 어느 정도 더 보여준다. 예를 들면 3+4+5= __+5의 문제에서 아이들은 종종 12라고 답하고 3 +4+ 5를 더해서 문제를 풀었다고 설명한다. 그러나 그들이 설명하는 동안, 그들은 등호 이전에 있는 3개 수보다는 4개 수 모두를 가리킨다. 이런 지적은 계산에 4번째 수를 포함시키지 않았음에도 불구하고 4번째 수가 중요할 수 있음에 대한 암묵적으로 인식하고 있음을 시사한다. 초기에 그런 손짓은 맞지만, 말은 틀린 경우 같은 몸짓-말소리 불일치를 보여준 아이들은 지도를 받기 전에 몸짓과 말소리가 일치했던 또래(예 : "12"라고 말하고 그들이 더했던 수 3개를 가리켰던 아동들)들보다 수학적 등식 문제를 지도하면 더 많은 학습 효과를 보인다.

 

마찬가지로 몸짓은 학습에서 원인 역할을 한다. 수학적 등식 문제에 대한 답을 설명하는 동안 적절히 몸짓을 활용하도록 격려받은 아이들은 몸짓을 요구받지 않은 아이들보다 더 많은 학습 효과를 보인다. 이는 단순한 우연이 아니다. 몸짓-말소리 불일치와 뒤이은 학습 사이의 일관된 상관관계는 수학적 등식 문제에서와 마찬가지로 수 보존과 물리 문제 해결 과정에서도 나타난다. 이런 결과들은 보다 광범위한 학습 현상을 보여준다. 사고와 행동의 다양성(예 : 말소리와 다른 몸짓하기 또는 현상을 하나로 설명하기보다 여러 개의 설명을 시도하는 것)은 종종 학습에 대한 높은 준비성을 나타낸다.